LOGIKA MATEMATIKA
RANGKUMAN MATERI
PERNYATAAN: kalimat yang menyatakan sesuatu yang nilai kebenarannya sudah dapat dipastikan (benar saja atau salah saja tetapi tidak keduanya).
KALIMAT TERBUKA: kalimat yang nilai kebenarannya belum dapat ditentukan, biasanya mengandung variabel dan jika variabelnya sudah diganti maka kalimat terbuka tersebut berubah menjadi suatu pernyataan.
INGKARAN/NEGASI dari suatu pernyataan
Notasi : negasi atau ingkaran pernyataan p ditulis ~p atau p ̅.
Catatan : a. jika pernyataan p benar, maka ~p salah dan jika p salah maka ~p benar.
b. ingkaran dari “semua p” adalah “ ada ~p “ atau “beberapa ~p” demikian juga sebaliknya.
Misalnya : p: semua ikan bertelur
~p : ada ikan yang tidak bertelur atau ~p : beberapa ikan tidak bertelur.
PERNYATAAN MAJEMUK
Konjugasi (dan)
Lambang: ^
Catatan :
P ^ q hanya benar jika kedua pernyataan penyusunnya (p dan q) bernilai benar.
Pernyataan yang mengandung tetapi, walaupun, meskipun senilai dengan konjungsi (dan)
Disjungsi (atau)
Lambang : ∨
Catatan: p ∨ q hanya salah jika kedua pernyataan penyusunnya bernilai salah
Implikasi
Lambang :⟶
Catatan :
p⟶q dibaca: 1. Jika p maka q
2. q jika p
3. p hanya jika q
4. p syarat cukup bagi q
5. q syarat perlu bagi p
p⟶q hanya salah jika pernyataan pertama (p) benar dan pernyataan kedua (q) salah.
Biimplikasi (implikasi dwi arah)
Lambang : ↔
Catatan:
p↔q dibaca: 1. P jika dan hanya jika q
2. jika p maka q dan jika q maka p
3. p syarat perlu dan cukup bagi q
4. q syarat perlu dan cukup bagi p
p↔q bernilai benar jika kedua pernyataan penyusunnya senilai (B semua atau S semua)
PENERAPAN LOGIKA DENGAN JARINGAN LISTRIK
hubungan seri dinyatakan dengan konjugasi (dan,^)
hubungan paralel dinyatakan dengan disjungsi(atau, ∨)
NEGASI DARI PERNYATAAN MAJEMUK
~(~P) ≡ P
~(P ^ q) ≡ (~p ∨ ~q)
~(p ∨q) ≡(~p ^ ~q)
~(p⟶q) ≡(p ^ ~q)
~(p↔q) ≡ (p ^ ~q) ∨ (~p ^ q)
IMPLIKASI LOGIS: suatu pernyataan majemuk yang mengandung implikasi yang bernilai tabel kebenarannya semua bernilai salah.
BIIMPLIKASI LOGIS: suatu pernyataan majemuk yang mengandung biimplikasi yang nilai tabel kebenarannya semua bernilai benar.
TAUTOLOGI: suatu pernyataan majemuk yang nilai tabel kebenarannya benar semua.
KONTRADIKSI: suatu pernyataan majemuk yang nilai tabel kebenarannya salah semua.
KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI
IMPLIKASI: p⟶q
KONVERS: q⟶p
INVERS: ~p⟶~q
KONTRAPOSISI: ~q⟶~p
CATATAN: implikasi (p⟶q) senilai dengan : 1. kontraposisi (~q⟶~p)
2. (~p ∨q) yaitu negasi dari negasinya.
PENARIKAN KESIMPULAN
MODUS PONENS
Bentuk:
p⟶q
p

∴ q

MODUS TOLLENS
Bentuk:
p⟶q
~q

∴ ~p



SILOGISME
Bentuk:
p⟶q ........ premis 1
q⟶r ........ premis2

∴ p⟶r ...........konklusi(kesimpulan)
Catatan: bentuk p⟶q kadang- kadang disamarkan dengan kontraposisinya(~q⟶~p) atau dengan (~p ∨ q) yaitu pernyataan yang senilai dengan implikasi.

Soal- soal
Manakah yang merupakan pernyataan bernilai benar?
32 = 9 dan 87 adalah bilangan prima.
√16 = 4 dan 3 adalah faktor dari 245.
√7 < 3 dan semua bilangan prima adalah bilangan ganjil. Himpunan penyelesaian dari x2 -5x +6=0 adalah {2,3} dan 2log 64 = 6 Akar kuadrat dari suatu bilangan positif adalah bilangan positif dan sin 210° = ½ Diantara implikasi- implikasi berikut, manakah yang merupakan implikasi yang bernilai salah? Jika tan 2/3 π = -√3 maka cos2 240° + sin2 240° =1 x2 > 0 untuk setiap x bilangan real jika 2 adalah bilangan prima.
Cos4 15° - sin4 15° =1/2 √3 hanya jika sin 30° = 1/2
Pada segitiga siku- siku berlaku teorema Phytagoras syarat cukup bagi 5 < √35 < 6 Jumlah antara bilangan genap dan ganjil adalah bilangan genap syarat perlu bagi 2+3=6. Diantara pernyataan berikut ini yang manakah yang merupakan implikasi logis? Jika x2-5x+6=0 maka x2-9=0 Jika x< 6 maka x2 < 36 Jika x2>36 maka x< 6 Jika 0 < x < 1 maka 1/x > 1
Jika x+y =1 maka x2+y2=1
Nilai kebenaran dari ( p V q) ^ (-p →q) adalah............
BBBS BSSB BSSS BBSS BSBS

Pernyataan (p v q) v (r v -p) akan bernilai salah jika...............
P benar, q salah, r benar
P salah, q salah, r benar
P salah, q salah, r benar P salah, q salah, r salah
P benar, q benar, r salah
Jika (q→-p) ^ p bernilai benar, maka pernyataan berikut ini yang nilainya salah adalah...........
q→-p p^-q q⟶p -q⟶-p P v q
Pernyataan (p ^ -q) → -r bernilai salah, maka pernyataan berikut ini yang bernilai salah adalah............

–p v –q
p ^ r
q ↔ -r
p⟶q
-q⟶r
Jika (-p ⟶ q) v (-q ↔ -r) bernilai salah, maka pernyataan berikut ini yang bernilai benar adalah............
(p v r)⟶q
(-r ^ -p) v q (r ⟶ -p) ^ (-q⟶-r)
(-q ^ -p)⟶(p v r) (-p⟶q)↔(r↔p)
Ingkaran yang benar dari kalimat dari “ saya lulus ujian dan saya senang” adalah............
(1). Saya tidak lulus ujian dan saya tidak senang
(2). Saya tidak lulus ujian atau say tidak senang
(3). Saya lulus ujian dan saya tidak senang
(4). Tidak benar bahwa saya lulus ujian dan saya senang.
Ingkaran yang benar tersebut adalah........
(1),(2), dan (3)
(1) dan (3) (2) dan(4)
(4) saja Semua benar/ semua salah

Negasi dari pernyataan “ seluruh undangan sudah hadir tetapi acara belum dimulai” adalah..........
Seluruh undangan sudah hadir dan acara dimulai
Seluruh undangan belum hadir dan acara dimulai
Ada undangan yang belum hadir dan acara dimulai
Ada undangan yang belum hadir atau acara dimulai
Jika seluruh undangan sudah hadir maka acara dimulai
Ingakaran dari “ jika 2│3 =6 maka 2 x 3 < 5 “ adalah...... a. jika 2 + 3 ≠ 6 maka 2 x 3 > 5
b. jika 2 + 3 ≠ 6 maka 2 x 3 ≥ 5
c. 2 +3 ≠ 6 dan 2 x 3 > 5 d. 2 + 3 = 6 dan 2 x 3 ≥ 5
e. 2 + 3 = 6 atau 2 x 3 ≥ 5
Negasi dari “ jika A kaya maka B dan C keduanya bahagia “ adalah...............
A kaya, dan B dan C keduanya tidak bahagia.
A kaya, dan B atau C keduanya tidak bahagia.
A tidak kaya, dan B dan C kedua- duanya tidak bahagia.
Jika A tidak kaya, maka B atau C tidak bahagia.
Jika A tidak kaya, maka B dan C tidak bahagia.
Ingkaran dari “ beberapa peserta ujian nasional membawa kalkulator dan tabel logaritma” adalah.........
Ada peserta ujian nasional yang tidak membawa kalkulator dan tabel logaritma.
Ada peserta ujian nasional yang tidak membawa kalkulator atau tabel logaritma.
Semua peserta ujian nasional yang tidak membawa kalkulator dan tabel logaritma.
Semua peserta ujian nasional yang tidak membawa kalkulator atau tabel logaritma.
Beberapa peserta ujian nasional tidak membawa kalkulator dan tabel logaritma.
Invers dari pernyataan “ jika ada air maka ada ikan” adalah.......
a. jika ada ikan maka ada air
b. jika tidak ada air maka tidak ada ikan.
c. jika tidak ada ikan maka tidak ada air. d. ada ikan dan tidak ada air.
e. ada ikan atau tidak ada air.
Konvers dari : ~ (p ^ q) ⟶ q adalah....
a. (p v -q) ⟶ q
b. –q ⟶ (p ^ q)
c. q ⟶ - (p ^ q) d. (p ^ q) ⟶ -q
e. –(p v q) ⟶ q
Invers dari: (~p v q) ⟶ (~ q ⟶r) adalah.........
a. (p v -q) ⟶ (q⟶ ~ r)
b. (q⟶-r)⟶ (p v -q)
c. (p^ -q) ⟶ (-p ^ -r) d. (-q ^ -r) ⟶ (p^-q)
e. (-q ⟶r) ⟶ (-p v q)
Pernyataan yang senilai dengan “ jika Tetty rajin atau pandai maka lulus ujian” adalah.......
(1). Jika Tetty tidak rajin belajar dan tidak pandai maka tidak lulus ujian
(2). Tetty tidak rajin belajar dan tidak pandai atau Tetty lulus ujian.
(3). Tetty tidak rajin belajar dan tidak pandai tetapi Tetty lulus ujian.
(4). Jika Tetty tidak lulus ujian maka dia tidak rajin belajar dan tidak pandai.
Jawaban yang benar adalah............
a. (1),(2) dan (3)
b. (1) dan (3)
c. (2) dan (4) d. (4) saja
e. semau benar/semua salah
Pernyataan yang ekuivalen dengan “ jikaAnto tertidur maka dia ngantuk” adalah.......
a. jika Anto tidak tertidur maka dia tidak ngantuk
b. jika Anto ngantuk maka ia tertidur
c. Anto ngantuk dan dia tertidur
d. Anto tertidur atau dai tidak ngantuk
e. Anto tidak tertidur atau dia ngantuk
Pernyataan yang ekuivalen dengan: (-p ^ q) ⟶(q v -r) adalah...
a. (p ^ -q) ⟶ (-q v r)
b. (p v -q) ⟶ (-q ^ r) c. (q v -r) ⟶(-p ^ q)
d.(-q ^ r) ⟶(p v -q) e. (-q v r)⟶ (p ^ -q)
Diberikan penarikan kesimpulan:
~p⟶q
~r⟶~q
......
Konklusinya adalah..........
a. p ^ r b. –p v r c. p ^ -r d. –p ^ r e. p v r
Diantara penarikan kesimpulan berikut ini:
(1). p⟶-q
r⟶p
 r⟶-q
(2). p v –q
-q
 q
(3). r ⟶ p
q⟶ -p
r⟶ -q
(4). –p v q
-q v r
-r ⟶ q
(5). q v p
r ⟶ -p
r ⟶ q

Yang sah adalah..
a. (1),(2),(3) b. (1),(3),(4) c. (1),(3),(5) d. (2),(3),(4) e. (1),(4),(5)
Konklusi dari premis- premis di bawah ini :
(1). Jika ia malas belajar maka nilai ulangannya tidak baik
(2). Jika nilai ulangannya tidak baik maka ia perlu mendapatkan bimbingan belajar.
(3). Ternyata Joni tidak mendapatkan bimbingan belajar.
Adalah.......
a. nilai ulangan Joni baik
b. Joni anak pandai c. Joni bukan anak pandai
d. joni tidak malas belajar e. Joni malas belajar
Jika pernyataan : “ setiap peserta ujian nasional sekarang sedang berpikir ”adalah benar, maka:
(1). Jika si A peserta ujian nasional, maka si A sedang berpikir.
(2). Jika si A bukan peserta ujian nasional, maka si A sekarang tidak sedang berpikir.
(3). Jika si A sekarang tidak sedang berpikir, maka si A bukan peserta ujian nasional.
(4). Jika si A sekerang sedang berpikir, maka si A peserta ujian nasional.
Yang benar adalah..........
a. (1),(2), dan (3)
b. (1) dan (3) c. (2) dan (4)
d. (4) saja e. semua benar/ semua salah
Diberikan pernyataan- pernyataan berikut:
(1). Jika penguasaan matematika rendah, maka sulit untuk menguasai IPA.
(2). IPA tidak sulit dikuasai atau IPTEK tidak berkembang.
(3). Jika IPTEK tidak berkembang maka negara akan semakin tertinggal.
Dari ketiga pernyataan di atas, dapat disimpulkan..............
a. jika penguasaan matematika rendah maka negara akan semakin tertinggal.
b. jika penguasaan matematika rendah maka IPTEK berkembang.
c. IPTEK dan IPA berkembang.
d. IPTEK dan IPA tidak berkembang.
e. sulit untuk memajukan negara.